KENの算数・数学教室

算数・数学についてやさしい内容から、入試問題などの応用問題まで紹介し解説をしていこうと思っております。 別に大学の数学科卒ではない一般人ですのでおかしな点にお気づきの場合はご指摘ください。たまには物理や工学系もやってみたいと思います。 出来るだけ多く更新したいと思いますが、今のところ更新は不定期でやっています。

№10 式の展開③(組み合わせの工夫) 【数学Ⅰ(高校)】

みなさんお久しぶりです!

久々の更新となりましたが、引き続き式の展開を扱っていきます。
前回までの
№8 式の展開①(公式利用)【数学Ⅰ(高校)】
№9 式の展開②(おき換え)【数学Ⅰ(高校)】
がまだの方は先にそちらを読まれることをお勧めします。

本日は組み合わせを工夫した式の展開をやっていきます。
単純に前から順に展開してもいいのですが、それだと計算が面倒になるケースが普通だと思います。しかし、積の組み合わせ(かける順番)を工夫することによってこれまでに習得した公式が扱える場合があります。つまり計算が楽になるという事ですね。今回はそれを習得してもらいます。


それでは問題を解いていきましょう!
※以下の問題のリンクを開いてPDFを印刷することで試験風に解いていただくことも可能です。

問題 次の式を展開せよ。
(1)
(2)
(3)
(4)


上にも書きましたが、そのまま展開するのではなく式を組み合わせることによって公式が使えるようにならないかを式を見て判断しなくてはなりません。その判断ができるようになるためには多くの問題を解いて練習するほかありません。
また、この手の問題では組み合わせを工夫して公式に落とし込むような問題しかでないので安心してください。
見た目は別として中身はそこまで難しいものではないので数学が得意な中3受験生は解けてしまうと思います。
※公式は覚えたことを前提で進めます。



それでは解答に入ろうと思います。
以下の解答はいろいろ話し言葉が混じっているので、
シンプルな解答はリンク先のPDFをご活用ください
解答(1) 
普通に左から順に展開なんかしたくないですよね?w
なんか計算が面倒になりそうな気がする人!正解です!
これは組み合わせを考えて計算をしたほうがよさそうです。
(  )単位でどれとどれを組み合わせて掛けたほうがいいのかを
考えなくてはいけません。
なれている人は見ただけでわかると思います。

まず式を見てみましょう。
まず1番目の(  )は平方の和です。
2番目と3番目は1次の和・差ですよね。
これはの和と差です。
どうやら中学で習った和と差の積

の式が使えそうですね。

計算するとこのようになります。
(与式)
見た目が2乗ですので慣れていない人は見にくいかもしれませんが、
の和と差の積であることに気付けたでしょうか?

さあもう解けたも同然です!
一応丁寧に書くと、


となります。

(2)  
さてこれはどうしましょうか?
ここはまず指数法則を使って式を見やすくしてみましょう。
指数法則 を使うと
(与式)

となります。
中カッコの中身は乗法公式(立方の差)が使えそうです。

公式を使うと

となり、差の平方の公式を使って

となります。

(3)
これは組み合わせを考えて式を展開していけばよさそうですね。
最初の(  )がの2次式、2番目と3番目は1次式です。
2番目と3番目を組み合わせて掛けて2次式にしてしまえば
の2次式)(の2次式)という形にもっていけそうです。

(与式)
ここで共通な部分であるを1つと考えて
(=Aとおき換えてもよい)
式を整理すると


公式を利用して


同類項をまとめると



(4)
この問題も典型的な組み合わせの問題です。
どれかとどれかの組み合わせ、どれかとどれかの組み合わせの2つ
を作って
の2次式)(の2次式)
みたいな式にして計算できそうです。
しかしどれを組み合わせても2次式はできてしまいます。
なんでもいいのでしょうか?
ここでの2次式とは

のような形の式になります。
この2次式のxの係数△って1次式の定数項を足し合わせたもの
になることはわかりますでしょうか?
例えば公式より、

この2次式のxの係数3って元の1次式の定数項の1と2を足したものです。

ということは組み合わせて2次式の積にしたとき、

xの係数をそろえたほうが後々計算しやすいことに気付ければOKです。
1次式のの係数はどれも1ですので2次の係数を気にする必要はありません。

そこで足し合わせての係数が同じになる組み合わせを考えればいいのです。
すると1番目と4番目、2番目と3番目の組み合わせだとの係数が-3
であることがわかります。

計算すると
(与式)
となります。

あとは共通する部分を1つと考えて(=Aとしてもよい)
丁寧に計算していくと




となります。

計算が苦手、数学が苦手という人はぜひ面倒でも丁寧にこなしていってください。
数学が得意な人はショートカットしているような感じがしますが、
演習をこなしているので頭の中で同じ作業を瞬時にしているだけです。
真似をするならば、演習をこなさなくてはいけません。



さて今回はどうだったでしょうか?
やってることは大したことないけど、
見た目ややることが中学より少々多くてまだちょっと・・・という感じでしょうか?

そもそもここに紹介している問題をこなすだけでは全然演習量が足りません。
お手もちの問題集などを使ってガンガン量をこなして慣れていってください。

次回はおき換えと組み合わせをミックスしたような展開をやっていこうと思います。



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お知らせ

みなさんこんにちは。

身内の近しい(2親等)とある人が転倒し骨折による大けがをしましたので、見舞いや身近な世話、書類整理など様々なことをしなきゃいけなくなり、多忙によりブログの更新が滞っております。
しばらくの間は自身の仕事と病院関係とでブログが更新できないことをお許しください

№9 式の展開②(おき換え)  【数学Ⅰ(高校)】

みなさんこんにちは。

今回も式の展開を扱ってきたいと思います。
今日はおき換えを用いた展開を扱っていきます。
前回は単純に中学の展開公式に少々毛をはやした程度の公式を学びました。
それを踏まえたうえで今回はもう少しだけ踏み込んだ問題です。
前回の№8 式の展開(公式利用)がまだのかたは先にそちらを読まれてみてください。



※以下の問題のリンクを開いてPDFを印刷することで試験風に解いていただくことも可能です。

問題 次の式を展開せよ。
(1) 
(2) 
(3) 



言ってしまえばこの程度なら中3の方ならば解けてしまうかもしれませんね。
例えば(1)だとa-b=AとでもおいてA-cの2乗を計算してAにa-bを代入するだけですしね。




それでは解答に入ります。
解答をPDFにまとめましたのでリンク先を開いてご活用ください。


解 答(1)
人間は学んだことを使って応用していく力があります。
今回はその力を使ってみることにしましょう。
私たちはこの問題を解く公式をしりません。
しかし、似たような公式に前回の公式①

というものがあります。今回はこれを使うことしましょう。

を意味することはお分かりだと思います。
例えばこの式だとa-bが共通しているのでこれを1つとして
考えていきます。
※もちろん-b-cを1つとしてもOKです。
式を整理すると

と書くことができますね。
これで先ほどの公式
を利用することができます。


ここで止めて正解です。
試験などではここで終わって全然OKです。

しかし体裁というか見た目が少々悪いので項の順番を入れ替えをすると
式が見やすくなります。


このような書き方を輪環の順といいます。
ab+bc+acのように書きたいというか書いても問題はないのですが、
a→b→c→aのサイクルを意識して書く書き方(ab+bc+ca)のことです。
この方法で式を整理すると式が見やすくなる利点があります。

今回のようにa-bを1つとしてみなす計算ですが、どうも苦手と言う場合にはa-b=Aとでもおいてみて計算してみてください。
すると

となるのであとはAにもとのa-bを代入して計算するだけとなります。


(2) 
これも基本的に(1)と同じです。
を1つと見なして計算します。
もちろん見やすさ重視でこれを例えばAとおいて計算してもOKです。

今回は前回で言う公式③を使います。

あとは計算をずかずかしていくだけです。




(3)
さあ(1)(2)ときて(3)もどーせおき換えなんでしょ?
と思えるようになったでしょうか?w
タイトルにもある通り今回はおき換えですのでその通りです。

さて今回はどれを1つのくくりとして計算しましょう。
x-3yを・・・と思うと右側はx+3yです。
x+3zとおもいきや右側がx-3z・・・

これにはひと手間を加える必要が出てきます。
右と左の式を見比べるとyとzの係数が異なります。
じゃあ見た目が同じになるようにある作業をすればいいんです。
こうしてみるとどうでしょうか??

勝手に-(マイナス)を左側のかっこにつけてるんだから式が変わってしまうじゃないか!と思わないでください。
マイナスを使って見た目が変わったけど中身が同じことに注目してください。
小かっこを展開すれば同じ式ってことはわかりますので。

ここで3y-3zという1つの塊を発見することができましたね。
見た目重視の方はこれをAとでもおいて計算してください。
これは和と差の積ですので前回の公式②を使います。
ですので

 ☜ここで終わってもOKです

となります。




また、補足として次の式はよく出るので公式として覚えておくと便利かと思います。



今回のは少し簡単だったんではないでしょうか。
次回は少々組み合わせに工夫が必要な式の展開を扱っていきたいと思います。
計算は練習して慣れるしかないので是非お手もちの問題集などで演習しておいてください。



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№8 式の展開①(公式利用) 【数学Ⅰ(高校)】

みなさんこんにちは。

小中高大院専門短大など新入生のみなさんは入学おめでとうございます。

嫌いな教科ランキングって数学が実は上位にきますよね。
特に高校に入るとまず数学Ⅰという数学の科目を履修すると思うんですけど、最初の式の展開や因数分解でもう無理!ってなる人は結構いるように思います。
中学までは問題を見ればパパっと答えが出るような問題、公式を使えば答えが出てくるような問題ばかりでしたので特にそう思う事でしょう。高校からは一発で答えが出るような問題はほとんどないと思います。いろいろ考えてあの公式を使って最終的に論理的に解答を導かなくてはいけません。ですので中学までとは違い答えだけでなく答えに至るまでの過程まで書かなくては正解になりません。
言ってしまえば数学の解答はラブレターのようなものです。順序を守って1つ1つ論理的に書き最後に告白(答え)をしていきます。受け入れられれば○だし、断られれば×ですw
そういうめんどくささのようなものもあってか嫌いと思われがちな教科だと思います。

数学が苦手って思う方のほとんどは数学が難しいからではなく、単に計算力が全然ないからだと思います。ですので数学が苦手な人ほど計算問題を多くこなして計算力を身につけてほしいところです。計算力とは単に計算ができる力だけを言うのではありません。早く正確にやることが大事です。計算力は早くても1年はかかりますので大学入試を考えている方は今のうちに計算力をつけておくことをお勧めします。別に算数の計算からでいいんです。高1だからってなにも難しい問題集の計算問題をする必要はありません。というか計算力がないならそんなのしたってどうしようもないと思います。徐々にレベルを上げていけばいいと思います。数学ができないけど地方国公立や難関大を目指すんだ!といっていきなり青チャートなんか開いたって駄目だと思います。あなたの現在地に合った問題集で勉強していきましょう。
※あくまで私の見解です


それでは今日の問題に移りましょう。
高校に入ってまず躓くであろう式の展開です。
しばらくは数Ⅰの式の展開と因数分解を扱っていこうと思っています。
今日はその第1回目として式の展開①(公式利用)です。

※以下の問題のリンクを開いてPDFを印刷することで試験風に解いていただくことも可能です。

問題
次の式を展開せよ。
(1) 
(2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)



前半の4問は中学でもやる内容ですので復習のようなものです。
後半についても1つ1つご丁寧に展開していっても解けますが、
公式を使うことで楽に展開することができます。

それではまずは公式からおさらいしていきましょう。
この公式はそのまますべて覚えてください。
英単語のように見て覚える、書いて覚えるというよりも
公式を見ながら問題を解いていって
”解きながら覚える”
という方法がすんなり覚えられると思います。
当然1問や2問解いたところで覚えられないでしょうからいくつも
反復して練習していってください。

■乗法公式
①               (和・差の平方)
②               (和と差の積)
③       (1次式の積❶)
④  (1次式の積❷)
⑤       (立方の和・差)
⑥       (和・差の立方)
※±や∓を用いて一部公式をまとめて表記しています。
※これらの符号は複号同順です。


それでは上の乗法公式を使って解答していきましょう。
ちなみに公式①~④は中学で履修済みですので復習項目です。



【解 答】
(1)

これは公式①を使います。
中学の復習項目ですので途中式を書かずとも答えを書けなくてはいけない問題ですが、
今回は丁寧に途中式を書いていきたいと思います。

 

(2)

これは2xに5を足したものと引いたものをかけているわけですので
和と差の積と瞬時に判断して公式②を使います。

             

(3)

これは公式③を使います。

           

(4)

これは公式④を使います。
さてここまでが中学の内容です。忘れてしまった方は呼び戻しは成功しましたでしょうか。

              

(5)

ここからが高校数学です。まずこれを見ただけではどの公式?かわからないと思います。
最初は上にまとめた公式とこの問題の式を見比べてみてください。
すると公式の⑤を使うと判断できると思います。
最初はこれでいいんです。何度も何度も反復して練習していくうちに少しずつ
覚えていく努力をしていって、見る頻度を下げるようにしてください。
よって、慣れるにはそれなりの演習量が必要です。

                

(6)

同様に公式⑤を使います。

                 

(7)

公式⑥を使います。

        

(8)

公式⑥を使います。他の問題でもそうですが、複号同順で公式はまとめていますので
符号には注意しましょう。

        

解答の方をPDFにまとめましたのでご活用ください。
解答


以上です。
どうでしたでしょうか?
半分は中学の復習、もう半分は高校で習う範囲でした。
しかし単純に公式を使うだけの問題ですので
式さえ覚えれば中学生でも楽々解けちゃいます。

演習をこなして早く新しく覚える公式に慣れていってほしいと思います。
となると中学までって本当に易しい事しかしてないんだな~と思えましたでしょうか?w
高校数学はまだスタート地点です。ここで心がおれないようにしてほしいと思います。

それでは乗法公式を踏まえて次回は
様々なタイプの式の展開の問題にチャレンジしたいと思います。




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№7 変数分離形の応用例(空気抵抗がある場合の自由落下)【大学物理学】

みなさんこんにちは。
今回は前回の変数分離形の自然科学への応用を扱っていきたいとおもいます。
計算自体は前回やった通りの作業をこなしていくだけですので、今回は微分方程式と自然科学に応用していく例を1つ挙げていくことにより現象を数理モデル(微分方程式)として立式できることを例題で確認したいとおもいます。今回取り扱うものは空気抵抗がある場合の自由落下ですので理系大学生ならだれでも知っているような式です。ですので微分方程式を後から修正したりすることはありません。


それでは解いていきましょう!
※以下の問題のリンクを開いてPDFを印刷することで試験風に解いていただくことも可能です。

問題
空気中を鉛直下向きに落下する物体が速度に比例する空気抵抗を受けるとき,落ち始めてからt秒後の物体の速度をv をm,g,kを用いて表せ。ただし,落ち始めたときの速度は0,物体の質量はm,重力加速度をg,空気抵抗をk とする。



さあまずは問題からのような形の微分方程式を立式しなくてはいけません。
そこで登場するのが運動方程式です。
高校で物理を習った方ならわかるでしょうけれどもma=Fとかいうあれですね。これって実は微分方程式なんです。
加速度aって速度の時間微分ですので

と表記することができますよね。



さて解答に入ります。

【解 答】
まず、運動方程式

を考えます。これは実は微分方程式なんです。
加速度aは速度vの時間微分ですので微分の形で書くならば、

と書くことができますね。

次に右辺の力Fについでですが、自由落下ですので物体には重力mgが常にかかっています。さらに落下しているということは重力とは反対向きの空気抵抗-kvがかかります。
ですので上の微分方程式は次のように書くことができます。


さて、微分方程式を立式したのであとは解くだけです。
数学ではxやyばかりだし、mやgなどの文字もあるので少しややこしく見えますが、変数はvとtです。
速度は時間の変化で決まる関数ということですね。
yがvに、xがtに変わっただけですので注意してください。
解き方ですが、前回やった解法とやることは同じです。
①両辺に変数を分離する
②両辺を積分する
さて解いていきましょう。

変数分離すると

両辺を時間tで積分すると


Cは積分定数)

t=0のときv=0なのだから


よって






となります。


高校までに物理の勉強をきちんとこなしていなかった方からすると文字ばかりでとっつきにくい感じだったかもしれませんが、これはもう慣れるしかないと思います。積分計算も対数が出てきたりと数Ⅲまでの知識も要しますので理工系の大学で入試で数Ⅲが扱われていないような大学(偏差値だと40代など)の学生さんは数Ⅲの教科書を引っ張り出して再度例題からでいいので復習しておいたほうがいいと思われます。
今回は大学新入生向けにexp xやln xなどの表記は避け、高校の教科書で使われるような表記にしておきました。

ちなみに

を意味します。指数が複雑な式の場合は小さすぎて書きにくいし見にくいのでこのような表記を用います。例えば今回の問題の解答をそのように表記するならば、

と書きます。

また、

を意味します。(あてネイピア数eを書いています)
このように表記することもあるということです。
高校数学などではlog xの底がを省略して書く場合、それは eなのが常識だから底が画eのときは省略してもいいと習いますが、世界的にというか自然科学の分野ではそうではないようです。
普通は底がeの場合はln xを用い、明らかに底がeの場合はそれを省略してlog xと書くのが正しいようです。
一般的に log xと書くと底は10(常用対数)を意味します。
ですので関数電卓では、log が常用対数(底が10である対数),ln が自然対数を表します。
関数電卓をお持ちの方(というか理系学生は持っていると思われる)は試してみるといいでしょう。特に理系学部の新入生の方は関数電卓の使い方に慣れるためにもいろいろ触ってみて覚えてください。
また、このような表記は一般的な大学の講義では高校までの授業のようにいちいち教授などが教えてくれることはありません。講義が終わった後にでも自分で調べて覚えていく形が普通だと思います。または、講義中や後に質問してみるといいかもしれませんね。

また、微分方程式は変数分離形だけではありません。また変数がさらに増えた偏微分方程式なるものもあるのでチャレンジしてみてください!



解答の方をPDFにまとめましたのでご活用ください。
解答


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№6 変数分離形微分方程式の解法 【大学数学】

みなさんこんにちは。

前回は微分方程式についてほんわか紹介をしましたが、今回は微分方程式の代表的な例の1つである変数分離形というものを扱っていきたいと思います。
4月に大学(理工系学部)に入学しておそらく多くの大学では1年次に微分積分学や線形代数学などの大学教養数学を扱うと思います。初学者のかたはビビらずに頑張ってほしいとおもいます。今の高校生は数学C(主に行列)が今はないのでその状態で線形代数に突入していくのは少し難しいかもしれませんね。


1.変数分離形微分方程式とは
変数分離形の微分方程式とは、
   
のように、
y'=(xの関数)×(yの関数)の形で表すことができる微分方程式のことを言います。

また、
y'=y
という微分方程式もp(x)=1となる変数分離形の微分方程式と言えます。


変数分離形の微分方程式は代表例の1つですが、うまく変形すれば多くの微分方程式が変数分離形で解けてしまう事、そもそも解くのが簡単であることから、結構重要なものと思いますので紹介させていただきました。
次に変数分離形の解法を簡単に示します。



2.変数分離形微分方程式の解法
微分方程式の解法ですが、とてもシンプルでやる作業はおおまかにたったの
2つ
だけなんです。

① のように2つの変数を左辺と右辺に分離する



② 両辺をxで積分する→ 
※左辺は置換積分の公式により  と等しい。



たったこれだけです。



それでは問題を1問といてみましょう。



3.変数分離形微分方程式の問題
それでは1問解いてみましょうか。
※以下の問題のリンクを開いてPDFを印刷することで試験風に解いていただくことも可能です。

問題
微分方程式 を解け。ただし、のとき、とする。

ちなみにこの問題は国家公務員採用一般職試験(技術系)の問題です。本来ならば公務員試験の問題は①~⑤までの選択肢から正解となる1つを選択しマークするのですが、今回は選択肢を外してみました。




それでは解答に入ります。
【解 答】
  
変数分離すると(上の解法の作業①)
  
両辺をxで積分すると(上の解法の作業②)

  
 ∴   (Cは積分定数)

を代入して
  
 ∴

したがって
  


これより
  


解答の方をPDFにまとめましたのでご活用ください。
解答



どうでしたでしょうか?
この問題は国家公務員の採用試験の問題でしたが、難易度としては難しいものではありません。当然この1問を演習したとしても変数分離形をマスターしたとは言い難いでしょう。
大学の教科書、参考書などを用いていろいろな問題にもチャレンジして慣れていくといいでしょう。

次回は変数分離形の微分方程式を自然科学に応用した数理モデルを解いてみようとおもいます。ちなみに高校の物理でも習った空気抵抗のある自由落下に関する微分方程式です。
これに関しても誰かが発見した数理モデル(微分方程式)を解くだけですのでやることは凶の問題と同じです。



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№5 微分方程式って? 【大学数学】

こんにちは。

今日は微分方程式について扱いたいと思います。
微分方程式といってもいくつか種類があり今回はまず、微分方程式とは何かを紹介するだけにとどめたいと思います。


1.微分方程式とは??
みなさんが、中学校や高校で習った1次方程式、2次方程式、連立方程式、指数方程式、対数方程式・・・・・など方程式には形を変えれば様々なものがあります。
復習がてら方程式を1問解いてみましょうかw
 

まだ2次方程式を習っていない中1中2の方には解けないと思いますが、言うまでもなく解の公式(平方完成でも可)を使えば
 
となります。

高校までに勉強してきた方程式にはある共通する特徴があります。
それは皆さんが解いた解が何らかの”数”であるということです。
言い換えるならば、皆さんが高校までやってきた方程式を解くとは
式を満たすx(数)を見つける作業
のことを言います。
つまり未知である数を見つけるわけですね。
このような方程式を代数方程式と言います。


それに対して微分方程式とは適当に、
 
のように、関数yと、その導関数(高階導関数も含む)含まれるような関数の方程式になります。
よって未知なのはこれまでのような数ではなく、関数です。
微分方程式を解くというのは

式を満たす”xの関数”を見つける作業
のことを言います。


のように、1変数関数(y=f(x))とその導関数からなる微分方程式を常微分方程式、一方で多変数関数(z=f(x,y)など)とその偏微分からなる微分方程式を偏微分方程式といいます。


それではまず、超単純な式を見れば解けてしまう微分方程式からやってみようと思います。
  を解いてみましょう。
一応補足ですが、とはy'のことです。
 と書けばイメージしやすいかもしれませんが、関数yをxで微分したものという意味です。

2階微分も同様にと表記します。

この微分方程式は微分方程式を習っていない数学Ⅲを履修するような理工系志望の高校生ならば考えれば解けてしまうようなものです。

[解]
 
xで微分すると自分自身(y)になるような関数ってどこかで習いませんでしたか?

そうです、指数関数のことです。
こいつは何回微分しようがでしたよね。
求める解は、 です。

はxで微分しても形を変えないため、を満たしていますよね。
再度書きますが、このように、微分方程式とは関数を求める方程式のことを言います。

ただよく考えてみると他にもあります。
例えばならばどうでしょう。
同じく微分すると形を変えない関数です。

の係数が3でも4でも5でも・・・微分しても形は同じです。
にどんな係数がついても、微分したところで形は変わりません。

じゃあこの方程式の解をこう書くとしましょう。
  (Cは任意定数)
これで係数Cがどんな数でもこの方程式の解を満たすことができます。
C=0のとき、y=0ですが、微分しても形を変えないのは言うまでもないとおもいます。
あとCがxの関数だと困るのできちんと”任意定数”と書いておきましょう。



2.簡単な微分方程式を解いてみよう!
今現在微分方程式とは何かをほんわか知った段階です。微分方程式の解法を知らなくても大丈夫なくらい簡単なものです。大学の定期試験でもこんなの出ないのではないでしょうか。

(例題)次の微分方程式を解け。
 (1)      (2)   


[解]
微分方程式を解くとは式を満たす関数を求めることでした。
(1)
微分すると3x+5となる関数yって何でしょうか。
もう見当はついているでしょうか。
微分してそうなるならば両辺をxで積分すればいい話です。
よって
(Cは任意定数)
となります。


ここで語句の説明をしますが、微分方程式に任意定数Cがついたものを一般解といいます。任意定数があることで任意性を残した一般化された解ということでこの名称がつきます。

物理学や工学などでは一般解のように任意性を残したものとちがって、しっかりとした1つの関数を求めなくてはいけません。
数学上では任意性が残るのに物理学等ではなぜそうなのか?ということですが、それは初期条件が与えられるからなのです。

例えばこの問題での初期条件を

としましょう。初期条件という関数のある点における情報を与えることによって、微分方程式を満たす関数の中で、y(0)=0を満たす関数を知ることができます。今回は適当にこの初期条件を与えることにしました。演習等では初期条件が問題で与えられています。

それではこの初期条件を満たす関数を求めて生きたいと思います。
にx=0を代入してCを求めなければなりません。
y(0)=0より、C=0
∴ 
これが微分方程式を満たすかつ、初期条件を満たす関数となります。



このようなある特定の初期条件を満たす関数(微分方程式の解)を特殊解といいます。
ここまでは超簡単な微分方程式を用いて語句などの説明をしてきました。

では少し踏み込んだ例題(2)を解いていきましょう。
踏み込んだとはいえまだまだ簡単なことです。
(2)では初期条件が与えられていますね。

今回は2階微分されていますね。
今回も積分すればいいだけの問題です。

両辺をxで積分すると、
 (C1は積分定数)
となります。もう1回積分することになるので同じ記号だとごちゃごちゃするので積分定数をC1としています。
y=~にしたいので、これをさらにxで積分すると
 
となります。これがこの微分方程式の一般解です。任意定数を含むのでほんわかとしています。
これを初期条件(グラフ上である点を通るという条件)を与えてちゃんとした1つの関数(特殊解)を求めていきます。
ふつう、2階微分された微分方程式では2回積分するのでCが2つ出てきます。よって初期条件も2つ必要となってきます。

それでは初期条件
を使って一般解を求めたいとおもいます。
より、 
同様に、
より、 

以上より

これが特殊解です。





さあ微分方程式を解いてみたわけですが、どうでしょうか?
楽しいでしょうか?w
楽しいと思った方はまだ超簡単な微分方程式しか解いていないからかもしれません。
微分方程式はとても難しいと思っていいとおもいます。
だから高校までは代数方程式を扱い(数Ⅲ履修者は微分方程式の若干さわり程度はやっていると思うが)、大学から微分方程式を扱うのも納得できる部分はあります。




3.自然科学と微分方程式

ここはさらっと流す程度としますが、自然科学の分野で微分方程式というものが使われます。
理学や工学等の分野では、ある現象をまず観察します。現象の変化を見ることとします。変化を見ることによって法則を見つけ出し、現象の変化を式として記述することができます。この式が通常は微分方程式となるわけです。この現象を式として微分方程式として記述しました。この式を数理モデルと言ったりします。この式を解くことによってある関数を得ます。大学の微分方程式の講義で扱うのは主に最後のこの作業だけです。あらかじめ用意された数理モデルを解くだけです。これだけでも難しいのに自然科学の分野等ではそもそも解かなければならない数理モデルを現象からモデル化しなければならないのが大変です。
微分方程式

あらゆる現象を観察し、現象を数理モデル化したのがあのニュートンと言われています。リンゴを高いところから落としてみたあのおじさんのことです。ニュートンはありとあらゆる現象は微分方程式で記述できることを発見しました。つまり、微分方程式の講義や演習では誰かが見つけてくれたものを解いているに過ぎないんですね。

ただ、モデル化した微分方程式ですが、その解(関数)が現実(現象)に反映しない場合もあり、その都度微分方程式を修正することが多くあります。それを繰り返して数理モデルが完成していきます。



4.終わりに
今回はここまでにしたいと思います。
次は微分方程式の中でも代表的な変数分離形の微分方程式を扱っていきたいとおもいます。
お楽しみに!


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№4 直角三角形の面積 【中学数学】

みなさんこんにちは。

みなさんは小学校の時三角形の面積の求め方を習ったとおもいます。
というか絶対習っているはずです。
(三角形の面積)=(底辺)×(高さ)×1/2(もしくは÷2)
でならったと思います。
今日はそんな三角形の面積について考えていきたいと思います。
見た目単なる三角形の面積ですが、知識的には中学数学の知識が求められますので一応対象は中学生以上とさせていただきます。また、一応対象を設定していますが、先取学習(公文式など)ですでにその知識があるなんて人も中にはおられると思いますのであくまで目安としてとらえていただければと思います。


それでは問題に入らせていただきます。
※以下の問題のリンクを開いてPDFを印刷することで試験風に解いていただくことも可能です。



問題
次の三角形の面積を求めよ。
※図の寸法及び縮尺は実際のものとは異なり、適当に作成しています。
№4 直角三角形の面積



















これはさすがに簡単でしょうかね?w
(底辺)×(高さ)×1/2だから正解は

10×6×1/2=30だから面積は30!!!!


ではございません!!!




おそらくほとんどの方が面積を30と答えたんじゃないでしょうか?
※ちなみに寸法に単位がない(cmなど)ので面積にも単位はありません。

ここで中学生以上の数学の知識が登場するわけですね。
果たしてこの三角形の面積はいくらなのでしょうか。






それでは解答に入らせていただきたいと思います。

【解 答】
まずこの直角三角形の外接円を考えます。
※外接円とは多角形のすべての頂点に接する円のことです。
外接円
円周角の定理により直角の対辺は外接円の直径になります。
(直径に対する中心角は180度だから円周角はその半分の直角となる)
円周角の定理において、半円の弧に対する円周角が直角となる定理をタレスの定理といいます。

つまりこの外接円の直径はこの直角三角形の底辺である10となるわけです。


次に与えられている寸法と外接円からわかる寸法を比べてみましょう。
外接円2
この図を見ればもうお分かりだと思います。
この外接円の半径が5に対して、直角三角形の高さ6っておかしくないですか?
この直角三角形の直角の頂点を外接円上を移動させたとしても三角形の高さは最大で5なんです。

つまりどういうことかというとこの直角三角形の高さが6となることはあり得ないわけなんです。


よって答えは・・・
この直角三角形は存在しない為、面積を求めることはできない。
とういうことになります。


これまで小学校中学校高校などで絶対に答えが存在する問題ばかりに取り組んできた日本教育を受けているとまさか!ってなりますよね。
学校ならば誰かが発見した答えを学ぶだけです。大学になれば自ら答えのない問題を設定し自ら答えを探すようなこと(理系なら卒業研究など)もやります。
社会において、労働では答えのない問題ばかりを扱います。自分で考え問いを設定し、答えを探さなくてはいけません。しかも、仕事は1人ではないので周りにわかるように論理性も必要です。マイクロソフトは現代社会が求めるそのような能力を持っている人を採用したいと思ったのでしょうね。あくまで勝手な想像ですけど。

しかし、中学校で習う円周角の定理をきちんと理解したうえで落ち着いていれば問題なく解けるものです。ほとんどの方が、与えられた寸法(底辺と高さ)で三角形の面積の公式を思い浮かべたのではないでしょうか。直角三角形の直角のマークおよびその位置に注目すれば円周角の定理を思い浮かべたのではないでしょうか。
私もこの問題を見た時30と答えそうになったのですが、小学校の算数でこの位置が直角となる場合の三角形の面積問題はほとんどない、もしくはまったくないのでは?という見た目の不自然さに気付くことができ、この三角形は存在しないことに気付いたときはさすがMicrosoftだなと思ったものです。図の不自然さにたまたま気付いただけですので私もまだまだだなと痛感しましたね。




解答の方をPDFにまとめましたのでご活用ください。


解答



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№3 絶対値を含む関数の定積分 【高校数学】

 みなさんこんにちは。

今年の大学入試も後半戦と言ったところでしょうか。もう国公立大学の2次試験も後期日程が実施されます。先日実施された国公立大学2次試験における前期日程の試験問題や解答速報が大手予備校のサイトでも公開されているようです。

そこでいろいろな大学の問題をサラッと見てみたのですが、あの京都大学で今年は気になる問題がありましたので今日はそれを扱っていこうと思います。
京都大学という名前にビビる必要はありません。
今年の京都大学の文系数学は例年に比べてかなり解きやすい問題で構成されていました。確率の問題が少々難しかったようですが、それ以外は標準的あるいは解きやすい問題で構成されていたと思います。
その中でも今回は大問2の定積分の計算を扱いたいと思います。地方国公立大を志望している方でも文理関係なく解けてほしい問題です。
ちなみにこの計算たった1問で30点の配点ですので落とすわけにはいかない問題です。

※以下の問題のリンクを開いてPDFを印刷することで試験風に解いていただくことも可能です。

問題
定積分  を求めよ。










参考書や問題集でもあるような絶対値を含む定積分の問題です。
さあ
    
だったらばらばらに積分して1つ1つ代入すればいいのですが、カッコじゃなくて絶対値記号がついていることに注目しましょう。


絶対値を含む関数の定積分に関してはグラフをイメージできればもう解けたも同然です。あとは計算ミスを起こさないように注意しながら解き進めるだけです。
注意すべきところはそのくらいでしょうか。

それでは解答に入りましょう。


【解 答】

     だから

    
である。
よって求める定積分は

    

   
        






いかがでしたでしょうか?
えっ?文系とはいえ京大なのにこんなんでええの?って感じだったでしょうか?しかも30点!!
しかしながら、あくまでたまたま今年が簡単な問題が出ただけですので決して京大はもちろん、大学入試そのものは楽ではありません!!なめてかかると撃沈することもありますので注意しましょう。

今回は1/6公式が使える部分が途中ありました。それに気付けば時短ですし計算ミスも少しは防げたところでしょう。1/6公式についてはまたいつか紹介したいと思います。解答PDFにて紹介だけしています。
また、不等号の≦や≧ですが、高校を卒業し大学に進むと≤や≥というイコールの線を1本省略したようなものを使う事が多いと思います。特に意味は同じです。他にも≼や≽などいろいろ種類はあるようです。



解答の方をPDFにまとめましたのでご活用ください。
簡単ですがグラフの図も入れてあります。




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№2 計算の技術① 【算数】

みなさんこんにちは。

数学が苦手な方って結構いらっしゃると思うのですが、
いつから嫌いになりましたか?
おそらく小学校の4~5年あたりではないでしょうか?
算数の佳境と言われる部分って個人的には小学校5年の分野だと思うんですよね。
逆に6年は算数の復習+αみたいな感じで新しいことはあまりせず中学校への導入みたいな感じのことをやっていたような気がします。まあ中学受験をされる方はまた違うんでしょうけど。

そこで今回は小学校で習った分数の加法(足し算)を取り扱おうと思います。
ちなみに語句説明をすると
足し算:加法
引き算:減法
掛け算:乗法
割り算:除法
足し算・引き算の混合:加減
掛け算・割り算の混合:乗除
加減・乗除の混合:四則

足し算の答え:和
引き算の答え:差
掛け算の答え:積
割り算の答え:商

と言ったりします。


では本日の問題はこちらになります。
今日は算数の簡単な計算ですので難しいものではありません。あくまで早く解く方法を紹介します。
※以下の問題のリンクを開いてPDFを印刷していただくと試験風に解いていただくことも可能です。


問題
次の計算をしなさい。
   (1)   (2)   (3)










見ての通りただの加法の計算です。
特徴としては、分母が異なり、分子がすべて1です。
普通に解くとすれば皆さん習われた通分という作業を加えることになります。
しかしながら小学校6年の時私はこの作業をどうにか省略して時短できないかと考えた所ある方法を思いつきました。
※この方法が有効かどうかは小6の時の私が思いついただけの話ですので個人で判断してください。


例えば(1)の場合普通だとこうするとおもいます。
         

このような簡単な数なら問題ないのですが、分母の公倍数を考えて通分するこの手間をどうにかして省きたいと思っていました。
そこで問題とその答えを見比べているとあることに気が付いたのです。

それは


答えの分母は問題の分母同士を掛けた数分子は問題の分母同士を足した数なんです。
(1)の場合答えの分母は問題の分母同士を掛けた7×4=28、分子は7+4=11
とたしかにそのようになります。


どういうことかというとこれを一般化すると
※以下は文字を使うので中学生以上推奨
          


確かに分母が掛けた数、分子は足した数になりますね。
※見ての通りこれは分子が1のときの分数の足し算で使えます。
※分母が偶数同士の場合は計算結果を約分する必要があります。

この式は2つの分数の場合ですが、これは3つ以上でも成り立ちます。
         
分子が分母の2つずつを掛けたものを3つ足すので少々複雑ではありますが、練習をこなしていけばすぐ慣れます。また、(3)の様に5と7と9の公倍数を探して通分するよりは楽かと思います。


ちなみに分子が1でない場合は
         
となります。こちらも練習をこなすとパパッとできるようになるかと思います。

あくまで私が小6の当時気が付いただけなのでこれを使うべきかどうかはみなさんで決められてください。また、平凡な少々算数・数学が少しできた少年が思いついたことですので数学が本当にできる方からすれば当たり前だしもっとすごいこと私はしってるよ!ということも多いとおもいます。



では解答に入らせていただきます。
上に紹介した方法を使うと以下のようになります。
(1)(2)については掛けて、足すだけですので途中式は省略しています。
(3)は計算ミスを防ぐために慣れるまではという意味で途中式をつけています。

解答
(1) 
(2)   
(3) 




PDFに
解答をまとめたのでそちらもご活用ください。





今回の記事に用いた数式は以下のサイトにて作成しました。
まずTexで数式を作り、無料でTexのhtmlを作成してくれるサイトです。
Texを知っている方は直接コマンドを入力してOKですが、私のようにTexを知らない場合でも上にあるメニューバーにより簡単にコマンド入力できます。デバイスのせいなのかは知りませんが若干重い気がします。
オンラインLaTex数式エディタ





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